Matematica Applicata
Corso da 9CFU per Ingegneria Biomedica
Obiettivi generali
La finalità ultima del corso è rendere lo studente edotto dei limiti descrittivi di una telaio riduzionista, con particolare attenzione ai fenomeni biologici (ed i relativi aspetti biomedicali), e parimenti fornire allo stesso metodi e modelli matematici per superare tale descrizione ed inferire proprietà emergenti in sistemi dinamici non-lineari e stocastici quali reti neurali o aggregati leucocitari (esempio: il singolo neurone emette al massimo un semplice segnale elettrico -quando non è quiescente- mentre una rete di miliardi di neuroni altamente interconnessi è in grado di apprendere e riconoscere un volto di una persona: queste capacità di apprendimento e riconoscimento scaturiscono spontaneamente al livello della rete ma non sono presenti nei singoli elementi che la compongono. Alla stessa stregua non c'è un singolo linfocita che "decide" di attaccare un agente patogeno, tale decisione viene presa collettivamente mediante "quorum sensing").
Obiettivi specifici
Lo scopo di questo corso è fornire agli studenti metodi e modelli matematici per la comprensione della processazione d'informazione in reti biologiche, sia in problemi diretti (indispensabili quando si forgia un modello) che in problemi inversi (fondamentali quando si testa un modello) e con concrete applicazioni. Nello specifico il corso, dal punto di vista formale, si divide in tre moduli principali (correlati, a complessità crescente), a dire (i) Sistemi Dinamici analiticamente risolvibili, (ii) Sistemi Dinamici risolvibili mediante teorie perturbative, e (iii) Sistemi Dinamici rumorosi, che si analizzano con tecniche di Processi Stocastici: ogni modulo ha con se il suo bagaglio di applicazioni.
Alla fine del corso lo studente padroneggerà una vasta pletora di tecniche per lo studio dei sistemi dinamici, deterministici e stocastici, ed in particolare avrà compreso come inferire la processazione d'informazione emergente in larghe assemblee di questi sistemi quali le reti a molti corpi, siano esse reti neuronali, reti linfocitarie o altro.
Conoscenza e comprensione
A corso espletato ci si aspetta che lo studente abbia sviluppato conoscenze e capacità per collaborare nelle attività di ricerca pubblica e privata, anche con ricercatori di area medica e biologica, sia nella ricerca medica di base che applicando metodologie e tecnologie innovative per la diagnostica e per la modellistica dei sistemi biomedici. Inoltre che questi sia in grado di sviluppare approcci innovativi ed originali ai problemi tecnici che richiedano anche creatività.
Applicare conoscenza e comprensione
Lo studente che padroneggia le tecniche matematiche espletate durante il corso dovrebbe poi essere in grado di saperle applicare con profitto almeno a sistemi biologici trattati durante il corso (reti neuronali e reti leucocitarie), con la speranza che -visti questi esempi- lo stesso sia poi in grado di generalizzare alla bisogna (i.e. "problemi diretti").
Inoltre questi dovrebbe saper comunicare verbalmente le scelte progettuali e gli orientamenti scientifici ad esse sottese e saper redigere relazioni tecniche scritte relative allo sviluppo di sistemi di interesse dell'ingegneria biomedica.
Infine, lo studente dovrà essere in grado di esplicare avanzate tecniche di modellazione e controllo di sistemi complessi per l'analisi dei dati e dell'informazione nel settore biomedico (i.e. "problemi inversi").
Capacità critiche e di giudizio
Le capacità critiche saranno affinate mediante numerosi esempi di applicazione della teoria i quali daranno modo allo studente di testare molto concretamente la sua maturazione durante l'erogazione -e lo studio- del materiale che forma il corpo del corso.
Capacità comunicative
Le capacità comunicative saranno sviluppate fornendo allo studente tutta la terminologia consona nel settore ed assicurandoci che la semantica di ogni parola abbracci il suo più completo -e corretto- dominio di significati.
Capacità di apprendimento
Le capacità di apprendimento saranno continuativamente testate con esercizi svolti in classe (dal docente).
MATEMATICA APPLICATA 60 ORE
(Nota: altre 30 ore del corso saranno impartite dalla Professoressa S. Carillo e copriranno la parte del corso relativa a metodi perturbativi)
La seguente divisione in "Modulo Teorico" vs "Modulo Applicato" mostra quanto il corso sia forgiato per essere pragmatico: un'intera metà del corso è interamente dedita alle applicazioni biologiche e biomedicali (mentre l'altra metà è teoria nuova su metodi matematici atti allo scopo).
_________________________________________________________________________________________________________________
MODULO TEORICO: MODELLISTICA MATEMATICA TEORICA (30 ore)
Parte Uno: Sistemi Dinamici, 14 ore
Parte Due: Processi Stocastici, 16 ore
MODULO APPLICATO: APPLICAZIONI A SISTEMI BIOLOGICI COMPLESSI (30 ore)
Parte Tre: Applicazioni alla processazione d’informazione nelle reti neurali: 22 ore
Parte Quattro: Applicazioni alla processazione d’informazione nelle reti immunitarie: 8 ore
_________________________________________________________________________________________________________________
Introduzione al corso (= presentazione del syllabus e sua calibrazione sul corso in essere)
-il docente. Cosa è successo nell’ultimo mezzo secolo? La rivoluzione della teoria dei grafi, l’espolosione dei (biomedical) big data e, di conseguenza, l'high dimensional statistics (e quindi le reti neurali ed il machine learning). Cosa aspettarsi e cosa apprendere dal presente corso. Come apprendere al meglio. Come essere valutati.
Parte Uno: Sistemi Dinamici (strumento di base: Analisi Matematica): 14 ore
-sistemi di equazioni differenziali: risoluzione [4 ore]
-stabilità nei sistemi di equazioni differenziali [4 ore]
-il caso di Lotka-Volterra semplice in dettaglio [2 ore]
-il caso della Mappa Logistica e la genesi del chaos deterministico [2 ore]
-l’esponente di Lyapounov, i piccoli denominatori di Poincarè e la relazione di Pesin [2 ore]
Parte Due: Processi Stocastici (strumento di base: Teoria della Probabilità): 16 ore
-ripasso di probabilità: Bernouilli, Poisson & Gauss (cenni)
-ripasso di probabilità: Bayes e statistiche mediche [2 ore]
-ripasso di probabilità: stimatori, loro caratteristiche e metodo dei momenti [2 ore]
-ripasso di probabilità: massima verosimiglianza [2 ore]
-l’entropia come misura d’informazione ed il principio inferenziale di Yajnes [2 ore]
-il modello di Erhenfest: statica e dinamica, comprensione del riduzionismo statistico [2 ore]
-i processi stocastici: bilancio dettagliato, ergodicità, irriducibilità e teorema di Markov [2 ore]
-il caso bernoulliano: la temperatura come random walk ed il limite della PDE di Fourier [2 ore]
-i processi di Wiener (con e senza drift) ed i moti Browniani [2 ore]
Parte Tre: Applicazioni alla processazione d’informazione nelle reti neurali: 22 ore
-funzioni costo valutate alla massima entropia: distribuzione di Gibbs, caso one-body e funzione di risposta [1 ora]
-la minimizzazione dinamica dell'energia libera: il bound di Boltzmann à la Amit [1 ora]
-equivalenza dell'entropia di Boltzmann con quelle di Gibbs e di Shannon nel canonico [1 ora]
-CW e transizioni di fase, universalità alla Kuramoto: dettagli inessenziali [1 ora]
-CW rigoroso à la Guerra con fluttuazioni & tecnica di Hamilton-Jacobi [1 ora]
-teoria gaussiana: interpolazione di Guerra per media (magnetizzazione) e varianza (suscettività) [1 ora]
teoria lagrangiana: equazione di Hamilton-Jacobi e Burgers: transizioni di fase & biforcazioni di Hopf [1 ora]
integrale gaussiano e soluzione del modello di Curie-Weiss mediante il metodo del punto di sella di Laplace [1 ora]
analogia strutturale tra risposta nei sistemi coopearitivi saturabili e risposta negli amplificatori operazionali [1 ora]
-SK: vademecum (repliche, overlaps, etc.) [1 ora]
-SK interpolazione di Guerra & tecnica di Hamilton-Jacobi [1 ora]
-dinamica stocastica di Stein per il neurone biologico e perceptrone artificiale di Rosenblatt [1 ora]
-la regola di apprendimento di Hebb e il modello di Hopfield in basso carico [1 ora]
-il modello di Hopfield nel basso carico mediante la log-constrained entropy à la Coolen [1 ora]
-una tecnica semplice per un'analisi grossolana ma efficace: la signal-2-noise (S2N) [1 ora]
-il modello di Hopfield in alto carico: High Dimensional Statistics [1 ora]
-l'entropia di Kullback-Leibler e la mutua informazione [1 ora]
-RBM e contrastive divergence + real Hebbian lerning [1 ora]
-equivalenza inferenziale del machine learning shallow con il metodo dei momenti [1 ora]
-i problemi inversi: stima di media (magnetizzazione) e varianza (suscettività) nel Curie-Weiss [1 ora]
-problemi P e problemi NP completi: l'esempio del commesso viaggiatore à la Hopfield & Tank [1 ora]
-uno sguardo agli esperimenti: Il modulo del riflesso condizionato di Pavlov [1 ora]
-uno sguardo agli esperimenti: patch clamp e multi-electrode array alla massima entropia (cenni)
Parte Quattro: Applicazioni alla processazione d’informazione nelle reti immunitarie: 8 ore
-i protagonisti della modellizazione matematica dell'immunologia teorica [1 ora]
-dinamica host-pathogen in varie salse [1 ora]
-i modelli SiR e loro generalizzazione à la Valesini [1 ora]
-il concetto di quasi-specie e la sua relativa dinamica à la Coolen [1 ora]
- uno sguardo agli esperimenti dagli occhi di un modellista: V(D)J recombination and human repertoire [1 ora]
- uno sguardo agli esperimenti dagli occhi di un modellista: i LabOnChip [1 ora]
-il caso di Lotka-Volterra complesso e la teoria di Novak & May [1 ora]
reti dense, exponential and hetero-associative: quanti problemi biologici sono scale free? Conclusione del corso [1 ora]
La finalità ultima del corso è rendere lo studente edotto dei limiti descrittivi di una telaio riduzionista, con particolare attenzione ai fenomeni biologici (ed i relativi aspetti biomedicali), e parimenti fornire allo stesso metodi e modelli matematici per superare tale descrizione ed inferire proprietà emergenti in sistemi dinamici non-lineari e stocastici quali reti neurali o aggregati leucocitari (esempio: il singolo neurone emette al massimo un semplice segnale elettrico -quando non è quiescente- mentre una rete di miliardi di neuroni altamente interconnessi è in grado di apprendere e riconoscere un volto di una persona: queste capacità di apprendimento e riconoscimento scaturiscono spontaneamente al livello della rete ma non sono presenti nei singoli elementi che la compongono. Alla stessa stregua non c'è un singolo linfocita che "decide" di attaccare un agente patogeno, tale decisione viene presa collettivamente mediante "quorum sensing").
Obiettivi specifici
Lo scopo di questo corso è fornire agli studenti metodi e modelli matematici per la comprensione della processazione d'informazione in reti biologiche, sia in problemi diretti (indispensabili quando si forgia un modello) che in problemi inversi (fondamentali quando si testa un modello) e con concrete applicazioni. Nello specifico il corso, dal punto di vista formale, si divide in tre moduli principali (correlati, a complessità crescente), a dire (i) Sistemi Dinamici analiticamente risolvibili, (ii) Sistemi Dinamici risolvibili mediante teorie perturbative, e (iii) Sistemi Dinamici rumorosi, che si analizzano con tecniche di Processi Stocastici: ogni modulo ha con se il suo bagaglio di applicazioni.
Alla fine del corso lo studente padroneggerà una vasta pletora di tecniche per lo studio dei sistemi dinamici, deterministici e stocastici, ed in particolare avrà compreso come inferire la processazione d'informazione emergente in larghe assemblee di questi sistemi quali le reti a molti corpi, siano esse reti neuronali, reti linfocitarie o altro.
Conoscenza e comprensione
A corso espletato ci si aspetta che lo studente abbia sviluppato conoscenze e capacità per collaborare nelle attività di ricerca pubblica e privata, anche con ricercatori di area medica e biologica, sia nella ricerca medica di base che applicando metodologie e tecnologie innovative per la diagnostica e per la modellistica dei sistemi biomedici. Inoltre che questi sia in grado di sviluppare approcci innovativi ed originali ai problemi tecnici che richiedano anche creatività.
Applicare conoscenza e comprensione
Lo studente che padroneggia le tecniche matematiche espletate durante il corso dovrebbe poi essere in grado di saperle applicare con profitto almeno a sistemi biologici trattati durante il corso (reti neuronali e reti leucocitarie), con la speranza che -visti questi esempi- lo stesso sia poi in grado di generalizzare alla bisogna (i.e. "problemi diretti").
Inoltre questi dovrebbe saper comunicare verbalmente le scelte progettuali e gli orientamenti scientifici ad esse sottese e saper redigere relazioni tecniche scritte relative allo sviluppo di sistemi di interesse dell'ingegneria biomedica.
Infine, lo studente dovrà essere in grado di esplicare avanzate tecniche di modellazione e controllo di sistemi complessi per l'analisi dei dati e dell'informazione nel settore biomedico (i.e. "problemi inversi").
Capacità critiche e di giudizio
Le capacità critiche saranno affinate mediante numerosi esempi di applicazione della teoria i quali daranno modo allo studente di testare molto concretamente la sua maturazione durante l'erogazione -e lo studio- del materiale che forma il corpo del corso.
Capacità comunicative
Le capacità comunicative saranno sviluppate fornendo allo studente tutta la terminologia consona nel settore ed assicurandoci che la semantica di ogni parola abbracci il suo più completo -e corretto- dominio di significati.
Capacità di apprendimento
Le capacità di apprendimento saranno continuativamente testate con esercizi svolti in classe (dal docente).
MATEMATICA APPLICATA 60 ORE
(Nota: altre 30 ore del corso saranno impartite dalla Professoressa S. Carillo e copriranno la parte del corso relativa a metodi perturbativi)
La seguente divisione in "Modulo Teorico" vs "Modulo Applicato" mostra quanto il corso sia forgiato per essere pragmatico: un'intera metà del corso è interamente dedita alle applicazioni biologiche e biomedicali (mentre l'altra metà è teoria nuova su metodi matematici atti allo scopo).
_________________________________________________________________________________________________________________
MODULO TEORICO: MODELLISTICA MATEMATICA TEORICA (30 ore)
Parte Uno: Sistemi Dinamici, 14 ore
Parte Due: Processi Stocastici, 16 ore
MODULO APPLICATO: APPLICAZIONI A SISTEMI BIOLOGICI COMPLESSI (30 ore)
Parte Tre: Applicazioni alla processazione d’informazione nelle reti neurali: 22 ore
Parte Quattro: Applicazioni alla processazione d’informazione nelle reti immunitarie: 8 ore
_________________________________________________________________________________________________________________
Introduzione al corso (= presentazione del syllabus e sua calibrazione sul corso in essere)
-il docente. Cosa è successo nell’ultimo mezzo secolo? La rivoluzione della teoria dei grafi, l’espolosione dei (biomedical) big data e, di conseguenza, l'high dimensional statistics (e quindi le reti neurali ed il machine learning). Cosa aspettarsi e cosa apprendere dal presente corso. Come apprendere al meglio. Come essere valutati.
Parte Uno: Sistemi Dinamici (strumento di base: Analisi Matematica): 14 ore
-sistemi di equazioni differenziali: risoluzione [4 ore]
-stabilità nei sistemi di equazioni differenziali [4 ore]
-il caso di Lotka-Volterra semplice in dettaglio [2 ore]
-il caso della Mappa Logistica e la genesi del chaos deterministico [2 ore]
-l’esponente di Lyapounov, i piccoli denominatori di Poincarè e la relazione di Pesin [2 ore]
Parte Due: Processi Stocastici (strumento di base: Teoria della Probabilità): 16 ore
-ripasso di probabilità: Bernouilli, Poisson & Gauss (cenni)
-ripasso di probabilità: Bayes e statistiche mediche [2 ore]
-ripasso di probabilità: stimatori, loro caratteristiche e metodo dei momenti [2 ore]
-ripasso di probabilità: massima verosimiglianza [2 ore]
-l’entropia come misura d’informazione ed il principio inferenziale di Yajnes [2 ore]
-il modello di Erhenfest: statica e dinamica, comprensione del riduzionismo statistico [2 ore]
-i processi stocastici: bilancio dettagliato, ergodicità, irriducibilità e teorema di Markov [2 ore]
-il caso bernoulliano: la temperatura come random walk ed il limite della PDE di Fourier [2 ore]
-i processi di Wiener (con e senza drift) ed i moti Browniani [2 ore]
Parte Tre: Applicazioni alla processazione d’informazione nelle reti neurali: 22 ore
-funzioni costo valutate alla massima entropia: distribuzione di Gibbs, caso one-body e funzione di risposta [1 ora]
-la minimizzazione dinamica dell'energia libera: il bound di Boltzmann à la Amit [1 ora]
-equivalenza dell'entropia di Boltzmann con quelle di Gibbs e di Shannon nel canonico [1 ora]
-CW e transizioni di fase, universalità alla Kuramoto: dettagli inessenziali [1 ora]
-CW rigoroso à la Guerra con fluttuazioni & tecnica di Hamilton-Jacobi [1 ora]
-teoria gaussiana: interpolazione di Guerra per media (magnetizzazione) e varianza (suscettività) [1 ora]
teoria lagrangiana: equazione di Hamilton-Jacobi e Burgers: transizioni di fase & biforcazioni di Hopf [1 ora]
integrale gaussiano e soluzione del modello di Curie-Weiss mediante il metodo del punto di sella di Laplace [1 ora]
analogia strutturale tra risposta nei sistemi coopearitivi saturabili e risposta negli amplificatori operazionali [1 ora]
-SK: vademecum (repliche, overlaps, etc.) [1 ora]
-SK interpolazione di Guerra & tecnica di Hamilton-Jacobi [1 ora]
-dinamica stocastica di Stein per il neurone biologico e perceptrone artificiale di Rosenblatt [1 ora]
-la regola di apprendimento di Hebb e il modello di Hopfield in basso carico [1 ora]
-il modello di Hopfield nel basso carico mediante la log-constrained entropy à la Coolen [1 ora]
-una tecnica semplice per un'analisi grossolana ma efficace: la signal-2-noise (S2N) [1 ora]
-il modello di Hopfield in alto carico: High Dimensional Statistics [1 ora]
-l'entropia di Kullback-Leibler e la mutua informazione [1 ora]
-RBM e contrastive divergence + real Hebbian lerning [1 ora]
-equivalenza inferenziale del machine learning shallow con il metodo dei momenti [1 ora]
-i problemi inversi: stima di media (magnetizzazione) e varianza (suscettività) nel Curie-Weiss [1 ora]
-problemi P e problemi NP completi: l'esempio del commesso viaggiatore à la Hopfield & Tank [1 ora]
-uno sguardo agli esperimenti: Il modulo del riflesso condizionato di Pavlov [1 ora]
-uno sguardo agli esperimenti: patch clamp e multi-electrode array alla massima entropia (cenni)
Parte Quattro: Applicazioni alla processazione d’informazione nelle reti immunitarie: 8 ore
-i protagonisti della modellizazione matematica dell'immunologia teorica [1 ora]
-dinamica host-pathogen in varie salse [1 ora]
-i modelli SiR e loro generalizzazione à la Valesini [1 ora]
-il concetto di quasi-specie e la sua relativa dinamica à la Coolen [1 ora]
- uno sguardo agli esperimenti dagli occhi di un modellista: V(D)J recombination and human repertoire [1 ora]
- uno sguardo agli esperimenti dagli occhi di un modellista: i LabOnChip [1 ora]
-il caso di Lotka-Volterra complesso e la teoria di Novak & May [1 ora]
reti dense, exponential and hetero-associative: quanti problemi biologici sono scale free? Conclusione del corso [1 ora]
|
|
Modulo Due: Teoria delle perturbazioniScopo di questo modulo è rendere lo studente edotto delle tecniche perturbative classiche di largo impiego quando la risoluzione analitica dei sistemi dinamici (tipicamente di genesi non lineare) non sia possibile.
Il modulo applica in concreto i metodi a classici esempi di sistemi dinamici non lineari per aumentare la padronanza di queste tecniche nelle mani dello studente. |
|
|
|