MODELLI MATEMATICI PER LA MECCANICA: modulo di SISTEMI DINAMICI
(canale A-L, Prof. Andreucci)
In questa pagina potete trovare tutti gli argomenti trattati a lezione e i relativi appunti per il modulo di Sistemi Dinamici
Lezione Uno | Lunedì 23 Settembre ore: 17:00-19:00, Aula 15 Edificio RM006
Introduzione al corso. Sistemi unidimensionali: ode in forma normale, problema di Cauchy, soluzione locale di una edo, soluzione massimale, esempi di soluzioni massimali, metodo degli ansatz (esempi 1.10 e 1.11), ode in forma autonoma e loro traslabilità temporale (thm 1.12).
Metodo della separazione delle variabili: generalità e calcolo di soluzioni massimali (esempi 1.13 ed 1.14). Esercizi sulla separazione delle variabili: modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni, modello di variazione della pressione atmosferica vs altitudine, caduta libera in mezzo viscoso: velocità limite. Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17).
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Lezione Due | Venerdì 27 Settembre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17). Corollario 1.18, Osservazioni 1.20, 1.21, 1.22, Lemma 1.19. Definizione di punto di equilibrio. Esistenza (ed importanza) delle soluzioni costanti (thm 1.24). Ritratti di fase: esempi. Lemma 1.25: equilibrio asintotico. Stabilità dei punti di equilibrio.
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Lezione Tre | Mercoledì 02 Ottobre ore: 12:00-14:00, Aula 15 Edificio RM006
Def 1.27: Equilibrio stabile/instabile. Esempi di studio qualitativo: Ex. 1.28, Ex. 1.29 (legge di Newton per la temperatura) ed 1.30 (equazione logistica) [sia soluzione analitica, sia studio qualitativo per tutti gli esercizi]. Thm. 1.31 (inesistenza di soluzioni periodiche non costanti). Ex. 1.34, Thm. 1.35 (esistenza della soluzione), Oss. 1.37 e Corollario 1.39 (unicità della soluzione).
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Lezione Quattro | Venerdì 04 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Oss. 1.37 (stima del tempo di percorrenza), Lemma 1.41 (criterio di Lipshitzianità), Oss. 1.42 (funzioni Lipshiziane), Thm. 1.43 (Unicità nel caso Lipshitziano). Esistenza e unicità nel caso di equazioni non autonome (i.e. F=F(x,t)): Thm. 1.51 (unicità), Def. 1.44, Thm. 1.45 (dipendenza continua), Ex. 1.47. Edo del I ordine: metodo della variazione della costante (Sez. 1.6).
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Introduzione al corso. Sistemi unidimensionali: ode in forma normale, problema di Cauchy, soluzione locale di una edo, soluzione massimale, esempi di soluzioni massimali, metodo degli ansatz (esempi 1.10 e 1.11), ode in forma autonoma e loro traslabilità temporale (thm 1.12).
Metodo della separazione delle variabili: generalità e calcolo di soluzioni massimali (esempi 1.13 ed 1.14). Esercizi sulla separazione delle variabili: modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni, modello di variazione della pressione atmosferica vs altitudine, caduta libera in mezzo viscoso: velocità limite. Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17).
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Lezione Due | Venerdì 27 Settembre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17). Corollario 1.18, Osservazioni 1.20, 1.21, 1.22, Lemma 1.19. Definizione di punto di equilibrio. Esistenza (ed importanza) delle soluzioni costanti (thm 1.24). Ritratti di fase: esempi. Lemma 1.25: equilibrio asintotico. Stabilità dei punti di equilibrio.
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Lezione Tre | Mercoledì 02 Ottobre ore: 12:00-14:00, Aula 15 Edificio RM006
Def 1.27: Equilibrio stabile/instabile. Esempi di studio qualitativo: Ex. 1.28, Ex. 1.29 (legge di Newton per la temperatura) ed 1.30 (equazione logistica) [sia soluzione analitica, sia studio qualitativo per tutti gli esercizi]. Thm. 1.31 (inesistenza di soluzioni periodiche non costanti). Ex. 1.34, Thm. 1.35 (esistenza della soluzione), Oss. 1.37 e Corollario 1.39 (unicità della soluzione).
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Lezione Quattro | Venerdì 04 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Oss. 1.37 (stima del tempo di percorrenza), Lemma 1.41 (criterio di Lipshitzianità), Oss. 1.42 (funzioni Lipshiziane), Thm. 1.43 (Unicità nel caso Lipshitziano). Esistenza e unicità nel caso di equazioni non autonome (i.e. F=F(x,t)): Thm. 1.51 (unicità), Def. 1.44, Thm. 1.45 (dipendenza continua), Ex. 1.47. Edo del I ordine: metodo della variazione della costante (Sez. 1.6).
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