MODELLI MATEMATICI PER LA MECCANICA: modulo di SISTEMI DINAMICI
(canale A-L, Prof. Andreucci)
In questa pagina potete trovare tutti gli argomenti trattati a lezione e i relativi appunti per il modulo di Sistemi Dinamici
Lezione Uno | Lunedì 23 Settembre ore: 17:00-19:00, Aula 15 Edificio RM006
Introduzione al corso. Sistemi unidimensionali: ode in forma normale, problema di Cauchy, soluzione locale di una edo, soluzione massimale, esempi di soluzioni massimali, metodo degli ansatz (esempi 1.10 e 1.11), ode in forma autonoma e loro traslabilità temporale (thm 1.12).
Metodo della separazione delle variabili: generalità e calcolo di soluzioni massimali (esempi 1.13 ed 1.14). Esercizi sulla separazione delle variabili: modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni, modello di variazione della pressione atmosferica vs altitudine, caduta libera in mezzo viscoso: velocità limite. Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17).
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Lezione Due | Venerdì 27 Settembre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17). Corollario 1.18, Osservazioni 1.20, 1.21, 1.22, Lemma 1.19. Definizione di punto di equilibrio. Esistenza (ed importanza) delle soluzioni costanti (thm 1.24). Ritratti di fase: esempi. Lemma 1.25: equilibrio asintotico. Stabilità dei punti di equilibrio.
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Lezione Tre | Mercoledì 02 Ottobre ore: 12:00-14:00, Aula 15 Edificio RM006
Def 1.27: Equilibrio stabile/instabile. Esempi di studio qualitativo: Ex. 1.28, Ex. 1.29 (legge di Newton per la temperatura) ed 1.30 (equazione logistica) [sia soluzione analitica, sia studio qualitativo per tutti gli esercizi]. Thm. 1.31 (inesistenza di soluzioni periodiche non costanti). Ex. 1.34, Thm. 1.35 (esistenza della soluzione), Oss. 1.37 e Corollario 1.39 (unicità della soluzione).
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Lezione Quattro | Venerdì 04 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Oss. 1.37 (stima del tempo di percorrenza), Lemma 1.41 (criterio di Lipshitzianità), Oss. 1.42 (funzioni Lipshiziane), Thm. 1.43 (Unicità nel caso Lipshitziano). Esistenza e unicità nel caso di equazioni non autonome (i.e. F=F(x,t)): Thm. 1.51 (unicità), Def. 1.44, Thm. 1.45 (dipendenza continua), Ex. 1.47. Edo del I ordine: metodo della variazione della costante (Sez. 1.6).
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Lezione Cinque | Mercoledì 09 Ottobre ore: 12:00-14:00, Aula 15 Edificio RM006
Thm. 1.67 (Teorema del Confronto), Ex. 1.68 (resistenza variabile), Thm. 1.72 (Esplosione in tempo finito), Ex. 1.74 (esempio 1.14 mediante Confronto). Sistemi di equazioni differenziali: Ex. 2.2 (sistema disaccoppiato), Ex. 2.3 (Precessione di Larmor).
Sez. 2.1 (abbassamento d'ordine di un'equazione). Esercizi per casa (studio qualitativo e edo: Ex. 1.58, Ex. 1.61)
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Lezione Sei | Venerdì 11 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Def.2.13 (Funzioni Lipschitziane vettoriali), Thm. 2.10 (esistenza), Thm. 2.14 (unicità), Thm. 2.18 (soluzione massimale), Thm. 2.19 e Cor. 2.20 (Uscita dai compatti nel limite e fine di una massimale). Thm. 2.24 (Limitazione a priori), Def. 2.27 (Dipendenza continua), Applicazioni (Ex. 2.31, Ex. 2.32).
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Lezione Sette | Venerdì 18 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Cap.3.1: (Equazioni differenziali lineari). Thm. 3.2 (Integrale Generale), Ex. 3.3. Sez. 3.1.1 (Eq. Lin. a coefficienti costanti): Lemma 3.4 (soluzione particolare in casi di interesse nella Meccanica), Ex. 3.5 (oscillatore armonico con forzante esponenziale), Ex. 3.6 (oscillatore armonico con forzante sinusoidale: caso risonante e caso non risonante).
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Lezione Otto | Venerdì 25 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Cap.3.2: (Sistemi Lineari Omogenei). Generalità, Thm. 3.17 (combinazione lineare di soluzioni è soluzione), Lemma 3.18 (lineare indipendenza in S ed R^N), Cor. 3.19 ($S \neq N$), Thm. 3.21 Basi in R^N come soluzioni di N problemi di Cauchy, Ex. 3.23 (il caso del moto armonico).
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Lezione Nove | Mercoledì 30 Ottobre ore: 12:00-14:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Sez. 3.4.2: (Metodi risolutivi di sistemi di ODE: primo modo, mediante diagonalizzazione della matrice del sistema dinamico). Annessa esercitazione (quattro esercizi).
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Lezione Dieci | Lunedì 11 Novembre ore: 17:00-19:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Fine dell'esercitazione sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali mediante diagonalizzazione della matrice dei coefficienti: caso di autovalori coincidenti. Sec. III.3: Matrici risolventi e di transizione. Lemma 3.24, Def. 3.25 (Matrice di transizione), Lemma 3.26, Thm. 3.27, Thm. 3.30 (proprietà algebriche della matrice di transizione), Thm. 3.32 (matrice di transizione come soluzione unica del problema di Cauchy), Ex. 3.27 (il caso del moto armonico).
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Lezione Undici | Venerdì 15 Novembre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Esercitazione sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali -ed annessi problemi di Cauchy- mediante diagonalizzazione della matrice dei coefficienti e mediante matrice di trasferimento. Casi 3x3 e casi non omogenei.
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Lezione Dodici | Giovedì 21 Novembre ore: 10:00-12:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Thm 3.33, Thm. 3.35 matrice esponenziale, Terzo metodo risolutivo mediante matrice esponenziale: Thm. 3.40. Caso dell'oscillatore armonico. Esercitazione.
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Lezione Tredici | Venerdì 22 Novembre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Comportamenti asintotici (Cap.4): Def. 4.1 (sistema dinamico), Def. 4.2 (orbita e grafico), Def. 4.3 (ritratto di fase), Oss. 4.4 e 4.5, Lemma 4.6, Ex. 4.7 (moto armonico), Def. 4.9 (Integrale primo), Lemma 4.10, Def. 4.11, Lemma 4.12, Def. 4.13 (equilibrio), Oss. 4.14, Lemma 4.15 (comportamento vicino ai punti d'equilibrio), Def. 4.17, Thm. 4.19, Ex. 4.21 (moto dissipativo). Thm. 4.23 (stabilità per sistemi a coefficienti costanti). Sistemi lineari a coefficienti costanti in D=2: il piano traccia-determinante: fuochi, centri, selle.
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Lezione Quattordici | Venerdì 29 Novembre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Thm. 4.29 (Teorema di stabilità lineare). Esercitazione sui punti di equilibrio dei sistemi (lineari e non lineari). Def. 4.33 (funzione di Lyapounov). Thm. 4.35 (Teorema di Lyapounov per la stabilità). Thm. 4.38 (Teorema di Lyapounov per la stabilità asintotica). Applicazioni: Ex. 4.42 pendolo conservativo (analisi di entrambe i punti fissi), Ex. 4.43 pendolo dissipativo (analisi di entrambe i punti fissi, assenza di piccole oscillazione nel caso instabile). Piccole oscillazioni: dal pendolo alla molla: importanza concettuale delle forme quadratiche e potenziali armonici.
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Lezione Quindici | Venerdì 13 Dicembre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Sez. 4.6: sistemi del II ordine. Def. 4.45, Def. 4.46, Def. 4.47, Thm. 4.50 (criterio di stabilità di Dirichlet), Thm. 4.54 (versione alternativa), Thm. 4.56 (sistemi dissipativi) e Thm. 4.58 (criterio di instabilità). Sez. 4.7: Diagramma di fase con esempi. Extra: mappa logistica: generalità, studio analitico per r=4. Genesi del caos deterministico. Il modello di Erhenfest: entropia di Boltzmann-Gibbs e Shannon.
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Lezione Sedici | Lunedì 16 Dicembre ore: 17:00-19:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Esercitazione d'esame.
Introduzione al corso. Sistemi unidimensionali: ode in forma normale, problema di Cauchy, soluzione locale di una edo, soluzione massimale, esempi di soluzioni massimali, metodo degli ansatz (esempi 1.10 e 1.11), ode in forma autonoma e loro traslabilità temporale (thm 1.12).
Metodo della separazione delle variabili: generalità e calcolo di soluzioni massimali (esempi 1.13 ed 1.14). Esercizi sulla separazione delle variabili: modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni, modello di variazione della pressione atmosferica vs altitudine, caduta libera in mezzo viscoso: velocità limite. Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17).
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Lezione Due | Venerdì 27 Settembre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17). Corollario 1.18, Osservazioni 1.20, 1.21, 1.22, Lemma 1.19. Definizione di punto di equilibrio. Esistenza (ed importanza) delle soluzioni costanti (thm 1.24). Ritratti di fase: esempi. Lemma 1.25: equilibrio asintotico. Stabilità dei punti di equilibrio.
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Lezione Tre | Mercoledì 02 Ottobre ore: 12:00-14:00, Aula 15 Edificio RM006
Def 1.27: Equilibrio stabile/instabile. Esempi di studio qualitativo: Ex. 1.28, Ex. 1.29 (legge di Newton per la temperatura) ed 1.30 (equazione logistica) [sia soluzione analitica, sia studio qualitativo per tutti gli esercizi]. Thm. 1.31 (inesistenza di soluzioni periodiche non costanti). Ex. 1.34, Thm. 1.35 (esistenza della soluzione), Oss. 1.37 e Corollario 1.39 (unicità della soluzione).
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Lezione Quattro | Venerdì 04 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Oss. 1.37 (stima del tempo di percorrenza), Lemma 1.41 (criterio di Lipshitzianità), Oss. 1.42 (funzioni Lipshiziane), Thm. 1.43 (Unicità nel caso Lipshitziano). Esistenza e unicità nel caso di equazioni non autonome (i.e. F=F(x,t)): Thm. 1.51 (unicità), Def. 1.44, Thm. 1.45 (dipendenza continua), Ex. 1.47. Edo del I ordine: metodo della variazione della costante (Sez. 1.6).
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Lezione Cinque | Mercoledì 09 Ottobre ore: 12:00-14:00, Aula 15 Edificio RM006
Thm. 1.67 (Teorema del Confronto), Ex. 1.68 (resistenza variabile), Thm. 1.72 (Esplosione in tempo finito), Ex. 1.74 (esempio 1.14 mediante Confronto). Sistemi di equazioni differenziali: Ex. 2.2 (sistema disaccoppiato), Ex. 2.3 (Precessione di Larmor).
Sez. 2.1 (abbassamento d'ordine di un'equazione). Esercizi per casa (studio qualitativo e edo: Ex. 1.58, Ex. 1.61)
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Lezione Sei | Venerdì 11 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Def.2.13 (Funzioni Lipschitziane vettoriali), Thm. 2.10 (esistenza), Thm. 2.14 (unicità), Thm. 2.18 (soluzione massimale), Thm. 2.19 e Cor. 2.20 (Uscita dai compatti nel limite e fine di una massimale). Thm. 2.24 (Limitazione a priori), Def. 2.27 (Dipendenza continua), Applicazioni (Ex. 2.31, Ex. 2.32).
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Lezione Sette | Venerdì 18 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Cap.3.1: (Equazioni differenziali lineari). Thm. 3.2 (Integrale Generale), Ex. 3.3. Sez. 3.1.1 (Eq. Lin. a coefficienti costanti): Lemma 3.4 (soluzione particolare in casi di interesse nella Meccanica), Ex. 3.5 (oscillatore armonico con forzante esponenziale), Ex. 3.6 (oscillatore armonico con forzante sinusoidale: caso risonante e caso non risonante).
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Lezione Otto | Venerdì 25 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Cap.3.2: (Sistemi Lineari Omogenei). Generalità, Thm. 3.17 (combinazione lineare di soluzioni è soluzione), Lemma 3.18 (lineare indipendenza in S ed R^N), Cor. 3.19 ($S \neq N$), Thm. 3.21 Basi in R^N come soluzioni di N problemi di Cauchy, Ex. 3.23 (il caso del moto armonico).
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Lezione Nove | Mercoledì 30 Ottobre ore: 12:00-14:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Sez. 3.4.2: (Metodi risolutivi di sistemi di ODE: primo modo, mediante diagonalizzazione della matrice del sistema dinamico). Annessa esercitazione (quattro esercizi).
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Lezione Dieci | Lunedì 11 Novembre ore: 17:00-19:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Fine dell'esercitazione sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali mediante diagonalizzazione della matrice dei coefficienti: caso di autovalori coincidenti. Sec. III.3: Matrici risolventi e di transizione. Lemma 3.24, Def. 3.25 (Matrice di transizione), Lemma 3.26, Thm. 3.27, Thm. 3.30 (proprietà algebriche della matrice di transizione), Thm. 3.32 (matrice di transizione come soluzione unica del problema di Cauchy), Ex. 3.27 (il caso del moto armonico).
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Lezione Undici | Venerdì 15 Novembre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Esercitazione sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali -ed annessi problemi di Cauchy- mediante diagonalizzazione della matrice dei coefficienti e mediante matrice di trasferimento. Casi 3x3 e casi non omogenei.
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Lezione Dodici | Giovedì 21 Novembre ore: 10:00-12:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Thm 3.33, Thm. 3.35 matrice esponenziale, Terzo metodo risolutivo mediante matrice esponenziale: Thm. 3.40. Caso dell'oscillatore armonico. Esercitazione.
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Lezione Tredici | Venerdì 22 Novembre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Comportamenti asintotici (Cap.4): Def. 4.1 (sistema dinamico), Def. 4.2 (orbita e grafico), Def. 4.3 (ritratto di fase), Oss. 4.4 e 4.5, Lemma 4.6, Ex. 4.7 (moto armonico), Def. 4.9 (Integrale primo), Lemma 4.10, Def. 4.11, Lemma 4.12, Def. 4.13 (equilibrio), Oss. 4.14, Lemma 4.15 (comportamento vicino ai punti d'equilibrio), Def. 4.17, Thm. 4.19, Ex. 4.21 (moto dissipativo). Thm. 4.23 (stabilità per sistemi a coefficienti costanti). Sistemi lineari a coefficienti costanti in D=2: il piano traccia-determinante: fuochi, centri, selle.
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Lezione Quattordici | Venerdì 29 Novembre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Thm. 4.29 (Teorema di stabilità lineare). Esercitazione sui punti di equilibrio dei sistemi (lineari e non lineari). Def. 4.33 (funzione di Lyapounov). Thm. 4.35 (Teorema di Lyapounov per la stabilità). Thm. 4.38 (Teorema di Lyapounov per la stabilità asintotica). Applicazioni: Ex. 4.42 pendolo conservativo (analisi di entrambe i punti fissi), Ex. 4.43 pendolo dissipativo (analisi di entrambe i punti fissi, assenza di piccole oscillazione nel caso instabile). Piccole oscillazioni: dal pendolo alla molla: importanza concettuale delle forme quadratiche e potenziali armonici.
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Lezione Quindici | Venerdì 13 Dicembre ore: 08:00-10:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Sez. 4.6: sistemi del II ordine. Def. 4.45, Def. 4.46, Def. 4.47, Thm. 4.50 (criterio di stabilità di Dirichlet), Thm. 4.54 (versione alternativa), Thm. 4.56 (sistemi dissipativi) e Thm. 4.58 (criterio di instabilità). Sez. 4.7: Diagramma di fase con esempi. Extra: mappa logistica: generalità, studio analitico per r=4. Genesi del caos deterministico. Il modello di Erhenfest: entropia di Boltzmann-Gibbs e Shannon.
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Lezione Sedici | Lunedì 16 Dicembre ore: 17:00-19:00, Aula 15 Edificio RM006
Argomenti Esercitazione d'esame.