MODELLI MATEMATICI PER LA MECCANICA: modulo di SISTEMI DINAMICI
(canale M-Z, Prof. Cirillo)
In questa pagina potete trovare tutti gli argomenti trattati a lezione e i relativi appunti per il modulo di Sistemi Dinamici
Lezione Uno | Lunedì 23 Settembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Introduzione al corso. Sistemi unidimensionali: ode in forma normale, problema di Cauchy, soluzione locale di una edo, soluzione massimale, esempi di soluzioni massimali, metodo degli ansatz (esempi 1.10 e 1.11), ode in forma autonoma e loro traslabilità temporale (thm 1.12).
Metodo della separazione delle variabili: generalità e calcolo di soluzioni massimali (esempi 1.13 ed 1.14). Esercizi sulla separazione delle variabili: modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni, modello di variazione della pressione atmosferica vs altitudine, caduta libera in mezzo viscoso: velocità limite. Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17).
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Lezione Due | Lunedì 30 Settembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17). Corollario 1.18, Osservazioni 1.20, 1.21, 1.22, Lemma 1.19. Definizione di punto di equilibrio. Esistenza (ed importanza) delle soluzioni costanti (thm 1.24). Ritratti di fase: esempi. Lemma 1.25: equilibrio asintotico. Stabilità dei punti di equilibrio.
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Lezione Tre | Mercoledì 02 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 5 Edificio RM018
Def 1.27: Equilibrio stabile/instabile. Esempi di studio qualitativo: Ex. 1.28, Ex. 1.29 (legge di Newton per la temperatura) ed 1.30 (equazione logistica) [sia soluzione analitica, sia studio qualitativo per tutti gli esercizi]. Thm. 1.31 (inesistenza di soluzioni periodiche non costanti). Ex. 1.34, Thm. 1.35 (esistenza della soluzione), Oss. 1.37 e Corollario 1.39 (unicità della soluzione).
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Lezione Quattro | Lunedì 07 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Oss. 1.27 (Tempi di percorrenza e loro stime). Def. 1.40 e Lemma 1.41 (Lipschizianità), Thm. 1.43 (unicità), il caso generale F(t,x): Def. 1.44, Thm. 1.45 (Dipendenza Continua), Corollario 1.46, Ex. 1.47. Sez. 1.6 (metodo della variazione delle costanti), Ex. 1.55, Ex. 1.57 (Modello logistico con decimazione). Studio qualitativo: Sez. 1.7: esercizi per casa.
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Lezione Cinque | Martedì 08 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 5 Edificio RM018
Thm. 1.67 (Teorema del Confronto), Ex. 1.68 (resistenza variabile), Thm. 1.72 (Esplosione in tempo finito), Ex. 1.74 (esempio 1.14 mediante Confronto). Sistemi di equazioni differenziali: Ex. 2.2 (sistema disaccoppiato), Ex. 2.3 (Precessione di Larmor).
Sez. 2.1 (abbassamento d'ordine di un'equazione). Esercizi per casa (studio qualitativo e edo: Ex. 1.58, Ex. 1.61)
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Lezione Sei | Lunedì 14 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Def.2.13 (Funzioni Lipschitziane vettoriali), Thm. 2.10 (esistenza), Thm. 2.14 (unicità), Thm. 2.18 (soluzione massimale), Thm. 2.19 e Cor. 2.20 (Uscita dai compatti nel limite e fine di una massimale). Thm. 2.24 (Limitazione a priori), Def. 2.27 (Dipendenza continua), Applicazioni (Ex. 2.31, Ex. 2.32, Ex. 2.35).
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Lezione Sette | Lunedì 21 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Cap.3.1: (Equazioni differenziali lineari), Thm. 3.2 (Integrale Generale), Ex. 3.3. Sez. 3.1.1 (Eq. Lin. a coefficienti costanti): Lemma 3.4 (soluzione particolare in casi di interesse nella Meccanica), Ex. 3.5 (oscillatore armonico con forzante esponenziale), Ex. 3.6 (oscillatore armonico con forzante sinusoidale: caso risonante e caso non risonante).
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Lezione Otto | Lunedì 28 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Cap.3.2: (Sistemi Lineari Omogenei). Generalità, Thm. 3.17 (combinazione lineare di soluzioni è soluzione), Lemma 3.18 (lineare indipendenza in S ed R^N), Cor. 3.19 ($S \neq N$), Thm. 3.21 Basi in R^N come soluzioni di N problemi di Cauchy, Ex. 3.23 (il caso del moto armonico).
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Lezione Nove | Lunedì 04 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Sez. 3.4.2: (Metodi risolutivi di sistemi di ODE: primo modo, mediante diagonalizzazione della matrice del sistema dinamico). Annessa esercitazione (quattro esercizi).
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Lezione Dieci | Lunedì 11 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Fine dell'esercitazione sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali mediante diagonalizzazione della matrice dei coefficienti: caso di autovalori coincidenti. Sec. III.3: Matrici risolventi e di transizione. Lemma 3.24, Def. 3.25 (Matrice di transizione), Lemma 3.26, Thm. 3.27, Thm. 3.30 (proprietà algebriche della matrice di transizione), Thm. 3.32 (matrice di transizione come soluzione unica del problema di Cauchy), Ex. 3.27 (il caso del moto armonico).
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Lezione Undici | Lunedì 18 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Esercitazione sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali -ed annessi problemi di Cauchy- mediante diagonalizzazione della matrice dei coefficienti e mediante matrice di trasferimento. Casi 3x3 e casi non omogenei.
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Lezione Dodici | Giovedì 21 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Thm 3.33, Thm. 3.35 matrice esponenziale, Terzo metodo risolutivo mediante matrice esponenziale: Thm. 3.40. Caso dell'oscillatore armonico. Esercitazione.
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Lezione Tredici | Lunedì 25 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Comportamenti asintotici (Cap.4): Def. 4.1 (sistema dinamico), Def. 4.2 (orbita e grafico), Def. 4.3 (ritratto di fase), Oss. 4.4 e 4.5, Lemma 4.6, Ex. 4.7 (moto armonico), Def. 4.9 & Lemma 4.10 (Integrale primo), Def. 4.11, Lemma 4.12, Def. 4.13 (equilibrio), Oss. 4.14, Lemma 4.15 (comportamento vicino ai punti d'equilibrio), Def. 4.16 (punto fisso stabile o instabile), Def. 4.17 (punto fisso asintoticamente stabile), Thm. 4.19 (integrali primi e assenza di punti fissi asintoticamente stabili), Ex. 4.21 (moto dissipativo). Thm. 4.23 (stabilità per sistemi a coefficienti costanti).
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Lezione Quattordici | Lunedì 02 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Thm. 4.29 (Teorema di stabilità lineare). Esercitazione sui punti di equilibrio dei sistemi (lineari e non lineari). Def. 4.33 (funzione di Lyapounov). Thm. 4.35 (Teorema di Lyapounov per la stabilità). Thm. 4.38 (Teorema di Lyapounov per la stabilità asintotica). Applicazioni: Ex. 4.42 pendolo conservativo (analisi di entrambe i punti fissi), Ex. 4.43 pendolo dissipativo (analisi di entrambe i punti fissi, assenza di piccole oscillazione nel caso instabile). Piccole oscillazioni: dal pendolo alla molla: importanza concettuale delle forme quadratiche e potenziali armonici.
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Lezione Quindici | Lunedì 09 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Sez. 4.6: sistemi del II ordine. Def. 4.45, Def. 4.46, Def. 4.47, Thm. 4.50 (criterio di stabilità di Dirichlet), Thm. 4.54 (versione alternativa), Thm. 4.56 (sistemi dissipativi) e Thm. 4.58 (criterio di instabilità). Sez. 4.7: Diagramma di fase con esempi. Extra: mappa logistica: generalità, studio analitico per r=4. Genesi del caos deterministico.
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Lezione Sedici | Lunedì 16 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Esercitazione su scritti d'esame.
(canale M-Z, Prof. Cirillo)
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Lezione Uno | Lunedì 23 Settembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Introduzione al corso. Sistemi unidimensionali: ode in forma normale, problema di Cauchy, soluzione locale di una edo, soluzione massimale, esempi di soluzioni massimali, metodo degli ansatz (esempi 1.10 e 1.11), ode in forma autonoma e loro traslabilità temporale (thm 1.12).
Metodo della separazione delle variabili: generalità e calcolo di soluzioni massimali (esempi 1.13 ed 1.14). Esercizi sulla separazione delle variabili: modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni, modello di variazione della pressione atmosferica vs altitudine, caduta libera in mezzo viscoso: velocità limite. Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17).
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Lezione Due | Lunedì 30 Settembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17). Corollario 1.18, Osservazioni 1.20, 1.21, 1.22, Lemma 1.19. Definizione di punto di equilibrio. Esistenza (ed importanza) delle soluzioni costanti (thm 1.24). Ritratti di fase: esempi. Lemma 1.25: equilibrio asintotico. Stabilità dei punti di equilibrio.
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Lezione Tre | Mercoledì 02 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 5 Edificio RM018
Def 1.27: Equilibrio stabile/instabile. Esempi di studio qualitativo: Ex. 1.28, Ex. 1.29 (legge di Newton per la temperatura) ed 1.30 (equazione logistica) [sia soluzione analitica, sia studio qualitativo per tutti gli esercizi]. Thm. 1.31 (inesistenza di soluzioni periodiche non costanti). Ex. 1.34, Thm. 1.35 (esistenza della soluzione), Oss. 1.37 e Corollario 1.39 (unicità della soluzione).
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Lezione Quattro | Lunedì 07 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Oss. 1.27 (Tempi di percorrenza e loro stime). Def. 1.40 e Lemma 1.41 (Lipschizianità), Thm. 1.43 (unicità), il caso generale F(t,x): Def. 1.44, Thm. 1.45 (Dipendenza Continua), Corollario 1.46, Ex. 1.47. Sez. 1.6 (metodo della variazione delle costanti), Ex. 1.55, Ex. 1.57 (Modello logistico con decimazione). Studio qualitativo: Sez. 1.7: esercizi per casa.
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Lezione Cinque | Martedì 08 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 5 Edificio RM018
Thm. 1.67 (Teorema del Confronto), Ex. 1.68 (resistenza variabile), Thm. 1.72 (Esplosione in tempo finito), Ex. 1.74 (esempio 1.14 mediante Confronto). Sistemi di equazioni differenziali: Ex. 2.2 (sistema disaccoppiato), Ex. 2.3 (Precessione di Larmor).
Sez. 2.1 (abbassamento d'ordine di un'equazione). Esercizi per casa (studio qualitativo e edo: Ex. 1.58, Ex. 1.61)
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Lezione Sei | Lunedì 14 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Def.2.13 (Funzioni Lipschitziane vettoriali), Thm. 2.10 (esistenza), Thm. 2.14 (unicità), Thm. 2.18 (soluzione massimale), Thm. 2.19 e Cor. 2.20 (Uscita dai compatti nel limite e fine di una massimale). Thm. 2.24 (Limitazione a priori), Def. 2.27 (Dipendenza continua), Applicazioni (Ex. 2.31, Ex. 2.32, Ex. 2.35).
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Lezione Sette | Lunedì 21 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Cap.3.1: (Equazioni differenziali lineari), Thm. 3.2 (Integrale Generale), Ex. 3.3. Sez. 3.1.1 (Eq. Lin. a coefficienti costanti): Lemma 3.4 (soluzione particolare in casi di interesse nella Meccanica), Ex. 3.5 (oscillatore armonico con forzante esponenziale), Ex. 3.6 (oscillatore armonico con forzante sinusoidale: caso risonante e caso non risonante).
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Lezione Otto | Lunedì 28 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Cap.3.2: (Sistemi Lineari Omogenei). Generalità, Thm. 3.17 (combinazione lineare di soluzioni è soluzione), Lemma 3.18 (lineare indipendenza in S ed R^N), Cor. 3.19 ($S \neq N$), Thm. 3.21 Basi in R^N come soluzioni di N problemi di Cauchy, Ex. 3.23 (il caso del moto armonico).
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Lezione Nove | Lunedì 04 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Sez. 3.4.2: (Metodi risolutivi di sistemi di ODE: primo modo, mediante diagonalizzazione della matrice del sistema dinamico). Annessa esercitazione (quattro esercizi).
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Lezione Dieci | Lunedì 11 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Fine dell'esercitazione sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali mediante diagonalizzazione della matrice dei coefficienti: caso di autovalori coincidenti. Sec. III.3: Matrici risolventi e di transizione. Lemma 3.24, Def. 3.25 (Matrice di transizione), Lemma 3.26, Thm. 3.27, Thm. 3.30 (proprietà algebriche della matrice di transizione), Thm. 3.32 (matrice di transizione come soluzione unica del problema di Cauchy), Ex. 3.27 (il caso del moto armonico).
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Lezione Undici | Lunedì 18 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Esercitazione sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali -ed annessi problemi di Cauchy- mediante diagonalizzazione della matrice dei coefficienti e mediante matrice di trasferimento. Casi 3x3 e casi non omogenei.
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Lezione Dodici | Giovedì 21 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Thm 3.33, Thm. 3.35 matrice esponenziale, Terzo metodo risolutivo mediante matrice esponenziale: Thm. 3.40. Caso dell'oscillatore armonico. Esercitazione.
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Lezione Tredici | Lunedì 25 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Comportamenti asintotici (Cap.4): Def. 4.1 (sistema dinamico), Def. 4.2 (orbita e grafico), Def. 4.3 (ritratto di fase), Oss. 4.4 e 4.5, Lemma 4.6, Ex. 4.7 (moto armonico), Def. 4.9 & Lemma 4.10 (Integrale primo), Def. 4.11, Lemma 4.12, Def. 4.13 (equilibrio), Oss. 4.14, Lemma 4.15 (comportamento vicino ai punti d'equilibrio), Def. 4.16 (punto fisso stabile o instabile), Def. 4.17 (punto fisso asintoticamente stabile), Thm. 4.19 (integrali primi e assenza di punti fissi asintoticamente stabili), Ex. 4.21 (moto dissipativo). Thm. 4.23 (stabilità per sistemi a coefficienti costanti).
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Lezione Quattordici | Lunedì 02 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Thm. 4.29 (Teorema di stabilità lineare). Esercitazione sui punti di equilibrio dei sistemi (lineari e non lineari). Def. 4.33 (funzione di Lyapounov). Thm. 4.35 (Teorema di Lyapounov per la stabilità). Thm. 4.38 (Teorema di Lyapounov per la stabilità asintotica). Applicazioni: Ex. 4.42 pendolo conservativo (analisi di entrambe i punti fissi), Ex. 4.43 pendolo dissipativo (analisi di entrambe i punti fissi, assenza di piccole oscillazione nel caso instabile). Piccole oscillazioni: dal pendolo alla molla: importanza concettuale delle forme quadratiche e potenziali armonici.
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Lezione Quindici | Lunedì 09 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Sez. 4.6: sistemi del II ordine. Def. 4.45, Def. 4.46, Def. 4.47, Thm. 4.50 (criterio di stabilità di Dirichlet), Thm. 4.54 (versione alternativa), Thm. 4.56 (sistemi dissipativi) e Thm. 4.58 (criterio di instabilità). Sez. 4.7: Diagramma di fase con esempi. Extra: mappa logistica: generalità, studio analitico per r=4. Genesi del caos deterministico.
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Lezione Sedici | Lunedì 16 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Esercitazione su scritti d'esame.