MODELLI MATEMATICI PER LA MECCANICA: modulo di SISTEMI DINAMICI
(canale M-Z, Prof. Cirillo)
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Libro di testo adottato: D. Andreucci, E.N.M. Cirillo, Sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Link2Publisher
A.A. 2025/2026
Lezione Uno | Lunedì 22 Settembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Introduzione al corso. Sistemi unidimensionali: ode in forma normale, problema di Cauchy, soluzione locale di una edo, soluzione massimale, esempi di soluzioni massimali, metodo degli ansatz (esempi 1.10 e 1.11), ode in forma autonoma e loro traslabilità temporale (thm 1.12).
Metodo della separazione delle variabili: generalità e calcolo di soluzioni massimali (esempi 1.13 ed 1.14). Esercizi sulla separazione delle variabili: modello di Malthus, modello di variazione della pressione atmosferica vs altitudine, caduta libera in mezzo viscoso: velocità limite.
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Lezione Due | Lunedì 28 Settembre ore 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Lemma 1.18 (Disuguaglianza di Gronwall), Cor. 1.19, Oss. 1.21. Cap.1.3: Def. 1.24 (punto fisso), Thm. 1.25. Sez. 1.3.1 (Studio qualitativo delle curve integrali). Lemma 1.26, Cor. 1.27, Def. 1.28, Ex. 1.30.
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Lezione Tre | Lunedì 06 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Ex. 1.31, Oss. 1.32 (inesistenza soluzioni periodiche). Sec.1.4: Thm. 1.36 (esistenza della soluzione), Oss. 1.37, Ex. 1.38, Cor. 1.39 (unicità della soluzione), Def. 1.40, Lem. 1.41, Thm. 1.45 (unicità per Lipschitz sia via Gronwall che mediante separazione di variabili)
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Lezione Quattro | Lunedì 13 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sec. 1.4: Oss. 1.37 & Ex. 1.38 (Tempi di percorrenza e loro stime). Cor. 1.39. Sec. 1.5: Def. 1.44, Thm. 1.45 (Dipendenza Continua), Cor. 1.46, Ex. 1.47. Sec. 1.6: ODE I ord (integrale generale).
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Lezione Cinque | Mercoledì 16 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sec. 1.6: ODE I ord (integrale generale). Ex. 1.56 (in tre modi diversi). Sec. 1.7: Thm. 1.57 (Teorema del confronto), Ex. 1.58 (resistenza variabile), Corr. 1.60, Thm. 1.63 (Esplosione in tempo finito), Ex. 1.65, Sec. 1.8: Ex. 1.66. Per casa: Ex. 1.67 & 1.69 & Ex. 1.70 & Ex. 1.71.
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Lezione Sei | Lunedì 20 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sec. 3.1: ODE teoria. Thm. 3.2 (Integrale Generale), Ex. 3.3. Sec. 3.1.1. (il caso dei coefficienti costanti: polinomio caratteristico, integrale generale): Lemma 3.4. Ex. 3.5: oscillatore forzato (forzante esponenziale). Ex 3.6: oscillatore forzato (caso risonante e non e limite di indistinguibilità). Dalle ODE O(N) in R^1 ai sistemi di ODE O(1) in R^N.
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Lezione Sette | Lunedì 27 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
ODE: esercitazione. Teoria: sistemi di ODE. Sez. 2.1 Ex. 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, Sez. 2.1.1: abbassamento d'ordine di un'equazione. Sez. 2.1.2.: Lemma 2.8, Lemma 2.9 (Gronwall vettoriale). Sez. 2.2 (soluzioni locali): Thm. 2.10 (esistenza), Def. 2.13, Thm. 2.14, Cor. 2.16 (unicità).
Lezione Otto | Lunedì 03 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sistemi di ODE: Sez. 3.2: Sistemi lineari omogenei. Intro. Thm. 3.17, Lemma 3.18, Cor. 3.19, Esercizi (sistemi 2x2). Thm. 3.21, Cor. 3.22. Sez. 3.4: sistemi lineari a coefficienti costanti. Primo metodo di calcolo dell'integrale generale (casi di autovalori distinti -reali o complessi- con esercizi di pertinenza). Focus sul caso dell'oscillatore armonico.
Lezione Nove | Lunedì 10 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sistemi di ODE: Sez. 3.4 (3.4.1 & 3.4.2): Caso di autovalori coincidenti: autovettori generalizzati e integrale generale.
Sistemi dI ODE forzati. Esercizi per casa: 3.63 & 3.64. Il riduzionismo in meccanica: il caso dell'oscillatore armonico come archetipo.
Lezione Dieci | Lunedì 17 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Matrici di transizione e matrice esponenziale: Lemma 3.24, Def. 3.25, Lemma 3.26, Thm. 3.27, Thm. 3.30, Ex. 3.31, Thm. 3.32, Thm. 3.33, Thm. 3.35, Thm. 3.40, esempi espliciti. Per casa: calcolo della matrice esponenziale per l'oscillatore armonico con tempo iniziale nullo.
Lezione Undici | Mercoledì 19 Novembre ore: 08:00-10:00, Aula 5 Edificio RM018
Cap. IV: Sez.4.1 integrali primi, simmetrie e quantità conservate. Def. 4.1, Def. 4.2 (orbita e grafico), Oss. 4.3 (sistemi autonomi). Piano delle fasi e ritratto di fase (con esempi: oscillatore e doppia buca). Thm. 4.61 (moti 1D con F=F(x) sono conservativi & se è presente l'attrito E-punto <0. Oss. 4.4 (Sol. Periodiche), Lemma 4.5, Ex. 4.7, Def. 4.9: integrale primo. Theorema di Noether: invarianze della Lagrangiana ed integrali primi. Cap. IV: Sez.4.2: Equilibrio. Def. 4.13, Oss. 4.14, Lemma 4.15
Lezione Dodici | Lunedì 24 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sez. 4.2: equilibrio. Def. 4.14, Oss. 4.15, Lemma 4.16, Def. 4.17 & 4.18.
Sez.4.3: Thm. 4.24, Ex. 4.25, Ex. 4.26, Ex. 4.27. Classificazione dei punti di equilibrio (nodi, selle, centri e fuochi). Esercizi di pertinenza.
Lezione Tredici | Giovedì 4 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sez. 4.4: Stabilità in sistemi dinamici non lineari. Il linearizzato ed il teorema di stabilità lineare (Thm. 4.30). Defl. 4.34 (Funzione di Lyapounov) e Thm. 4.36 (Teorema di Lyapounov). Applicazioni al pendolo, sia conservativo (Ex. 4.43) che dissipativo (Ex. 4.44).
Applicazioni dei sistemi dinamici 1: il modello SIR, il fenomeno dell'immunità di gregge.
Lezione Quattordici | Giovedì 11 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Il sistema dinamico di Lotka-Volterra: studio completo (dall'integrale primo alla stabilità dei punto di equilibrio, dalle curve di livello alle soluzioni esplicite del linearizzato nell'equilibrio stabile).
Sez. 4.6: Sistemi del II ordine e stabilità à la Dirichlet (senza dimostrazioni). Def. 4.46, Def. 4.47, Def. 4.48. Thm. 4.51 (Stabilità di Dirichlet), Thm.4.57 (Stabilità asintotica di Dirichlet), Thm. 4.59 (Instabilità di Dirichlet).
Esercizi su forzanti e stabilità.
Introduzione al corso. Sistemi unidimensionali: ode in forma normale, problema di Cauchy, soluzione locale di una edo, soluzione massimale, esempi di soluzioni massimali, metodo degli ansatz (esempi 1.10 e 1.11), ode in forma autonoma e loro traslabilità temporale (thm 1.12).
Metodo della separazione delle variabili: generalità e calcolo di soluzioni massimali (esempi 1.13 ed 1.14). Esercizi sulla separazione delle variabili: modello di Malthus, modello di variazione della pressione atmosferica vs altitudine, caduta libera in mezzo viscoso: velocità limite.
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Lezione Due | Lunedì 28 Settembre ore 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Lemma 1.18 (Disuguaglianza di Gronwall), Cor. 1.19, Oss. 1.21. Cap.1.3: Def. 1.24 (punto fisso), Thm. 1.25. Sez. 1.3.1 (Studio qualitativo delle curve integrali). Lemma 1.26, Cor. 1.27, Def. 1.28, Ex. 1.30.
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Lezione Tre | Lunedì 06 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Ex. 1.31, Oss. 1.32 (inesistenza soluzioni periodiche). Sec.1.4: Thm. 1.36 (esistenza della soluzione), Oss. 1.37, Ex. 1.38, Cor. 1.39 (unicità della soluzione), Def. 1.40, Lem. 1.41, Thm. 1.45 (unicità per Lipschitz sia via Gronwall che mediante separazione di variabili)
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Lezione Quattro | Lunedì 13 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sec. 1.4: Oss. 1.37 & Ex. 1.38 (Tempi di percorrenza e loro stime). Cor. 1.39. Sec. 1.5: Def. 1.44, Thm. 1.45 (Dipendenza Continua), Cor. 1.46, Ex. 1.47. Sec. 1.6: ODE I ord (integrale generale).
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Lezione Cinque | Mercoledì 16 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sec. 1.6: ODE I ord (integrale generale). Ex. 1.56 (in tre modi diversi). Sec. 1.7: Thm. 1.57 (Teorema del confronto), Ex. 1.58 (resistenza variabile), Corr. 1.60, Thm. 1.63 (Esplosione in tempo finito), Ex. 1.65, Sec. 1.8: Ex. 1.66. Per casa: Ex. 1.67 & 1.69 & Ex. 1.70 & Ex. 1.71.
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Lezione Sei | Lunedì 20 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sec. 3.1: ODE teoria. Thm. 3.2 (Integrale Generale), Ex. 3.3. Sec. 3.1.1. (il caso dei coefficienti costanti: polinomio caratteristico, integrale generale): Lemma 3.4. Ex. 3.5: oscillatore forzato (forzante esponenziale). Ex 3.6: oscillatore forzato (caso risonante e non e limite di indistinguibilità). Dalle ODE O(N) in R^1 ai sistemi di ODE O(1) in R^N.
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Lezione Sette | Lunedì 27 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
ODE: esercitazione. Teoria: sistemi di ODE. Sez. 2.1 Ex. 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, Sez. 2.1.1: abbassamento d'ordine di un'equazione. Sez. 2.1.2.: Lemma 2.8, Lemma 2.9 (Gronwall vettoriale). Sez. 2.2 (soluzioni locali): Thm. 2.10 (esistenza), Def. 2.13, Thm. 2.14, Cor. 2.16 (unicità).
Lezione Otto | Lunedì 03 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sistemi di ODE: Sez. 3.2: Sistemi lineari omogenei. Intro. Thm. 3.17, Lemma 3.18, Cor. 3.19, Esercizi (sistemi 2x2). Thm. 3.21, Cor. 3.22. Sez. 3.4: sistemi lineari a coefficienti costanti. Primo metodo di calcolo dell'integrale generale (casi di autovalori distinti -reali o complessi- con esercizi di pertinenza). Focus sul caso dell'oscillatore armonico.
Lezione Nove | Lunedì 10 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sistemi di ODE: Sez. 3.4 (3.4.1 & 3.4.2): Caso di autovalori coincidenti: autovettori generalizzati e integrale generale.
Sistemi dI ODE forzati. Esercizi per casa: 3.63 & 3.64. Il riduzionismo in meccanica: il caso dell'oscillatore armonico come archetipo.
Lezione Dieci | Lunedì 17 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Matrici di transizione e matrice esponenziale: Lemma 3.24, Def. 3.25, Lemma 3.26, Thm. 3.27, Thm. 3.30, Ex. 3.31, Thm. 3.32, Thm. 3.33, Thm. 3.35, Thm. 3.40, esempi espliciti. Per casa: calcolo della matrice esponenziale per l'oscillatore armonico con tempo iniziale nullo.
Lezione Undici | Mercoledì 19 Novembre ore: 08:00-10:00, Aula 5 Edificio RM018
Cap. IV: Sez.4.1 integrali primi, simmetrie e quantità conservate. Def. 4.1, Def. 4.2 (orbita e grafico), Oss. 4.3 (sistemi autonomi). Piano delle fasi e ritratto di fase (con esempi: oscillatore e doppia buca). Thm. 4.61 (moti 1D con F=F(x) sono conservativi & se è presente l'attrito E-punto <0. Oss. 4.4 (Sol. Periodiche), Lemma 4.5, Ex. 4.7, Def. 4.9: integrale primo. Theorema di Noether: invarianze della Lagrangiana ed integrali primi. Cap. IV: Sez.4.2: Equilibrio. Def. 4.13, Oss. 4.14, Lemma 4.15
Lezione Dodici | Lunedì 24 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sez. 4.2: equilibrio. Def. 4.14, Oss. 4.15, Lemma 4.16, Def. 4.17 & 4.18.
Sez.4.3: Thm. 4.24, Ex. 4.25, Ex. 4.26, Ex. 4.27. Classificazione dei punti di equilibrio (nodi, selle, centri e fuochi). Esercizi di pertinenza.
Lezione Tredici | Giovedì 4 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Sez. 4.4: Stabilità in sistemi dinamici non lineari. Il linearizzato ed il teorema di stabilità lineare (Thm. 4.30). Defl. 4.34 (Funzione di Lyapounov) e Thm. 4.36 (Teorema di Lyapounov). Applicazioni al pendolo, sia conservativo (Ex. 4.43) che dissipativo (Ex. 4.44).
Applicazioni dei sistemi dinamici 1: il modello SIR, il fenomeno dell'immunità di gregge.
Lezione Quattordici | Giovedì 11 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Il sistema dinamico di Lotka-Volterra: studio completo (dall'integrale primo alla stabilità dei punto di equilibrio, dalle curve di livello alle soluzioni esplicite del linearizzato nell'equilibrio stabile).
Sez. 4.6: Sistemi del II ordine e stabilità à la Dirichlet (senza dimostrazioni). Def. 4.46, Def. 4.47, Def. 4.48. Thm. 4.51 (Stabilità di Dirichlet), Thm.4.57 (Stabilità asintotica di Dirichlet), Thm. 4.59 (Instabilità di Dirichlet).
Esercizi su forzanti e stabilità.
A.A. 2024/2025
Lezione Uno | Lunedì 23 Settembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Introduzione al corso. Sistemi unidimensionali: ode in forma normale, problema di Cauchy, soluzione locale di una edo, soluzione massimale, esempi di soluzioni massimali, metodo degli ansatz (esempi 1.10 e 1.11), ode in forma autonoma e loro traslabilità temporale (thm 1.12).
Metodo della separazione delle variabili: generalità e calcolo di soluzioni massimali (esempi 1.13 ed 1.14). Esercizi sulla separazione delle variabili: modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni, modello di variazione della pressione atmosferica vs altitudine, caduta libera in mezzo viscoso: velocità limite. Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17).
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Lezione Due | Lunedì 30 Settembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17). Corollario 1.18, Osservazioni 1.20, 1.21, 1.22, Lemma 1.19. Definizione di punto di equilibrio. Esistenza (ed importanza) delle soluzioni costanti (thm 1.24). Ritratti di fase: esempi. Lemma 1.25: equilibrio asintotico. Stabilità dei punti di equilibrio.
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Lezione Tre | Mercoledì 02 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 5 Edificio RM018
Def 1.27: Equilibrio stabile/instabile. Esempi di studio qualitativo: Ex. 1.28, Ex. 1.29 (legge di Newton per la temperatura) ed 1.30 (equazione logistica) [sia soluzione analitica, sia studio qualitativo per tutti gli esercizi]. Thm. 1.31 (inesistenza di soluzioni periodiche non costanti). Ex. 1.34, Thm. 1.35 (esistenza della soluzione), Oss. 1.37 e Corollario 1.39 (unicità della soluzione).
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Lezione Quattro | Lunedì 07 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Oss. 1.27 (Tempi di percorrenza e loro stime). Def. 1.40 e Lemma 1.41 (Lipschizianità), Thm. 1.43 (unicità), il caso generale F(t,x): Def. 1.44, Thm. 1.45 (Dipendenza Continua), Corollario 1.46, Ex. 1.47. Sez. 1.6 (metodo della variazione delle costanti), Ex. 1.55, Ex. 1.57 (Modello logistico con decimazione). Studio qualitativo: Sez. 1.7: esercizi per casa.
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Lezione Cinque | Martedì 08 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 5 Edificio RM018
Thm. 1.67 (Teorema del Confronto), Ex. 1.68 (resistenza variabile), Thm. 1.72 (Esplosione in tempo finito), Ex. 1.74 (esempio 1.14 mediante Confronto). Sistemi di equazioni differenziali: Ex. 2.2 (sistema disaccoppiato), Ex. 2.3 (Precessione di Larmor).
Sez. 2.1 (abbassamento d'ordine di un'equazione). Esercizi per casa (studio qualitativo e edo: Ex. 1.58, Ex. 1.61)
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Lezione Sei | Lunedì 14 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Def.2.13 (Funzioni Lipschitziane vettoriali), Thm. 2.10 (esistenza), Thm. 2.14 (unicità), Thm. 2.18 (soluzione massimale), Thm. 2.19 e Cor. 2.20 (Uscita dai compatti nel limite e fine di una massimale). Thm. 2.24 (Limitazione a priori), Def. 2.27 (Dipendenza continua), Applicazioni (Ex. 2.31, Ex. 2.32, Ex. 2.35).
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Lezione Sette | Lunedì 21 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Cap.3.1: (Equazioni differenziali lineari), Thm. 3.2 (Integrale Generale), Ex. 3.3. Sez. 3.1.1 (Eq. Lin. a coefficienti costanti): Lemma 3.4 (soluzione particolare in casi di interesse nella Meccanica), Ex. 3.5 (oscillatore armonico con forzante esponenziale), Ex. 3.6 (oscillatore armonico con forzante sinusoidale: caso risonante e caso non risonante).
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Lezione Otto | Lunedì 28 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Cap.3.2: (Sistemi Lineari Omogenei). Generalità, Thm. 3.17 (combinazione lineare di soluzioni è soluzione), Lemma 3.18 (lineare indipendenza in S ed R^N), Cor. 3.19 ($S \neq N$), Thm. 3.21 Basi in R^N come soluzioni di N problemi di Cauchy, Ex. 3.23 (il caso del moto armonico).
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Lezione Nove | Lunedì 04 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Sez. 3.4.2: (Metodi risolutivi di sistemi di ODE: primo modo, mediante diagonalizzazione della matrice del sistema dinamico). Annessa esercitazione (quattro esercizi).
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Lezione Dieci | Lunedì 11 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Fine dell'esercitazione sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali mediante diagonalizzazione della matrice dei coefficienti: caso di autovalori coincidenti. Sec. III.3: Matrici risolventi e di transizione. Lemma 3.24, Def. 3.25 (Matrice di transizione), Lemma 3.26, Thm. 3.27, Thm. 3.30 (proprietà algebriche della matrice di transizione), Thm. 3.32 (matrice di transizione come soluzione unica del problema di Cauchy), Ex. 3.27 (il caso del moto armonico).
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Lezione Undici | Lunedì 18 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Esercitazione sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali -ed annessi problemi di Cauchy- mediante diagonalizzazione della matrice dei coefficienti e mediante matrice di trasferimento. Casi 3x3 e casi non omogenei.
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Lezione Dodici | Giovedì 21 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Thm 3.33, Thm. 3.35 matrice esponenziale, Terzo metodo risolutivo mediante matrice esponenziale: Thm. 3.40. Caso dell'oscillatore armonico. Esercitazione.
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Lezione Tredici | Lunedì 25 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Comportamenti asintotici (Cap.4): Def. 4.1 (sistema dinamico), Def. 4.2 (orbita e grafico), Def. 4.3 (ritratto di fase), Oss. 4.4 e 4.5, Lemma 4.6, Ex. 4.7 (moto armonico), Def. 4.9 & Lemma 4.10 (Integrale primo), Def. 4.11, Lemma 4.12, Def. 4.13 (equilibrio), Oss. 4.14, Lemma 4.15 (comportamento vicino ai punti d'equilibrio), Def. 4.16 (punto fisso stabile o instabile), Def. 4.17 (punto fisso asintoticamente stabile), Thm. 4.19 (integrali primi e assenza di punti fissi asintoticamente stabili), Ex. 4.21 (moto dissipativo). Thm. 4.23 (stabilità per sistemi a coefficienti costanti).
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Lezione Quattordici | Lunedì 02 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Thm. 4.29 (Teorema di stabilità lineare). Esercitazione sui punti di equilibrio dei sistemi (lineari e non lineari). Def. 4.33 (funzione di Lyapounov). Thm. 4.35 (Teorema di Lyapounov per la stabilità). Thm. 4.38 (Teorema di Lyapounov per la stabilità asintotica). Applicazioni: Ex. 4.42 pendolo conservativo (analisi di entrambe i punti fissi), Ex. 4.43 pendolo dissipativo (analisi di entrambe i punti fissi, assenza di piccole oscillazione nel caso instabile). Piccole oscillazioni: dal pendolo alla molla: importanza concettuale delle forme quadratiche e potenziali armonici.
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Lezione Quindici | Lunedì 09 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Sez. 4.6: sistemi del II ordine. Def. 4.45, Def. 4.46, Def. 4.47, Thm. 4.50 (criterio di stabilità di Dirichlet), Thm. 4.54 (versione alternativa), Thm. 4.56 (sistemi dissipativi) e Thm. 4.58 (criterio di instabilità). Sez. 4.7: Diagramma di fase con esempi. Extra: mappa logistica: generalità, studio analitico per r=4. Genesi del caos deterministico.
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Lezione Sedici | Lunedì 16 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Esercitazione su scritti d'esame.
Introduzione al corso. Sistemi unidimensionali: ode in forma normale, problema di Cauchy, soluzione locale di una edo, soluzione massimale, esempi di soluzioni massimali, metodo degli ansatz (esempi 1.10 e 1.11), ode in forma autonoma e loro traslabilità temporale (thm 1.12).
Metodo della separazione delle variabili: generalità e calcolo di soluzioni massimali (esempi 1.13 ed 1.14). Esercizi sulla separazione delle variabili: modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni, modello di variazione della pressione atmosferica vs altitudine, caduta libera in mezzo viscoso: velocità limite. Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17).
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Lezione Due | Lunedì 30 Settembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.17). Corollario 1.18, Osservazioni 1.20, 1.21, 1.22, Lemma 1.19. Definizione di punto di equilibrio. Esistenza (ed importanza) delle soluzioni costanti (thm 1.24). Ritratti di fase: esempi. Lemma 1.25: equilibrio asintotico. Stabilità dei punti di equilibrio.
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Lezione Tre | Mercoledì 02 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 5 Edificio RM018
Def 1.27: Equilibrio stabile/instabile. Esempi di studio qualitativo: Ex. 1.28, Ex. 1.29 (legge di Newton per la temperatura) ed 1.30 (equazione logistica) [sia soluzione analitica, sia studio qualitativo per tutti gli esercizi]. Thm. 1.31 (inesistenza di soluzioni periodiche non costanti). Ex. 1.34, Thm. 1.35 (esistenza della soluzione), Oss. 1.37 e Corollario 1.39 (unicità della soluzione).
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Lezione Quattro | Lunedì 07 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Oss. 1.27 (Tempi di percorrenza e loro stime). Def. 1.40 e Lemma 1.41 (Lipschizianità), Thm. 1.43 (unicità), il caso generale F(t,x): Def. 1.44, Thm. 1.45 (Dipendenza Continua), Corollario 1.46, Ex. 1.47. Sez. 1.6 (metodo della variazione delle costanti), Ex. 1.55, Ex. 1.57 (Modello logistico con decimazione). Studio qualitativo: Sez. 1.7: esercizi per casa.
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Lezione Cinque | Martedì 08 Ottobre ore: 08:00-10:00, Aula 5 Edificio RM018
Thm. 1.67 (Teorema del Confronto), Ex. 1.68 (resistenza variabile), Thm. 1.72 (Esplosione in tempo finito), Ex. 1.74 (esempio 1.14 mediante Confronto). Sistemi di equazioni differenziali: Ex. 2.2 (sistema disaccoppiato), Ex. 2.3 (Precessione di Larmor).
Sez. 2.1 (abbassamento d'ordine di un'equazione). Esercizi per casa (studio qualitativo e edo: Ex. 1.58, Ex. 1.61)
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Lezione Sei | Lunedì 14 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Def.2.13 (Funzioni Lipschitziane vettoriali), Thm. 2.10 (esistenza), Thm. 2.14 (unicità), Thm. 2.18 (soluzione massimale), Thm. 2.19 e Cor. 2.20 (Uscita dai compatti nel limite e fine di una massimale). Thm. 2.24 (Limitazione a priori), Def. 2.27 (Dipendenza continua), Applicazioni (Ex. 2.31, Ex. 2.32, Ex. 2.35).
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Lezione Sette | Lunedì 21 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Cap.3.1: (Equazioni differenziali lineari), Thm. 3.2 (Integrale Generale), Ex. 3.3. Sez. 3.1.1 (Eq. Lin. a coefficienti costanti): Lemma 3.4 (soluzione particolare in casi di interesse nella Meccanica), Ex. 3.5 (oscillatore armonico con forzante esponenziale), Ex. 3.6 (oscillatore armonico con forzante sinusoidale: caso risonante e caso non risonante).
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Lezione Otto | Lunedì 28 Ottobre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Cap.3.2: (Sistemi Lineari Omogenei). Generalità, Thm. 3.17 (combinazione lineare di soluzioni è soluzione), Lemma 3.18 (lineare indipendenza in S ed R^N), Cor. 3.19 ($S \neq N$), Thm. 3.21 Basi in R^N come soluzioni di N problemi di Cauchy, Ex. 3.23 (il caso del moto armonico).
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Lezione Nove | Lunedì 04 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Sez. 3.4.2: (Metodi risolutivi di sistemi di ODE: primo modo, mediante diagonalizzazione della matrice del sistema dinamico). Annessa esercitazione (quattro esercizi).
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Lezione Dieci | Lunedì 11 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Fine dell'esercitazione sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali mediante diagonalizzazione della matrice dei coefficienti: caso di autovalori coincidenti. Sec. III.3: Matrici risolventi e di transizione. Lemma 3.24, Def. 3.25 (Matrice di transizione), Lemma 3.26, Thm. 3.27, Thm. 3.30 (proprietà algebriche della matrice di transizione), Thm. 3.32 (matrice di transizione come soluzione unica del problema di Cauchy), Ex. 3.27 (il caso del moto armonico).
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Lezione Undici | Lunedì 18 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Esercitazione sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali -ed annessi problemi di Cauchy- mediante diagonalizzazione della matrice dei coefficienti e mediante matrice di trasferimento. Casi 3x3 e casi non omogenei.
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Lezione Dodici | Giovedì 21 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Thm 3.33, Thm. 3.35 matrice esponenziale, Terzo metodo risolutivo mediante matrice esponenziale: Thm. 3.40. Caso dell'oscillatore armonico. Esercitazione.
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Lezione Tredici | Lunedì 25 Novembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Comportamenti asintotici (Cap.4): Def. 4.1 (sistema dinamico), Def. 4.2 (orbita e grafico), Def. 4.3 (ritratto di fase), Oss. 4.4 e 4.5, Lemma 4.6, Ex. 4.7 (moto armonico), Def. 4.9 & Lemma 4.10 (Integrale primo), Def. 4.11, Lemma 4.12, Def. 4.13 (equilibrio), Oss. 4.14, Lemma 4.15 (comportamento vicino ai punti d'equilibrio), Def. 4.16 (punto fisso stabile o instabile), Def. 4.17 (punto fisso asintoticamente stabile), Thm. 4.19 (integrali primi e assenza di punti fissi asintoticamente stabili), Ex. 4.21 (moto dissipativo). Thm. 4.23 (stabilità per sistemi a coefficienti costanti).
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Lezione Quattordici | Lunedì 02 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Thm. 4.29 (Teorema di stabilità lineare). Esercitazione sui punti di equilibrio dei sistemi (lineari e non lineari). Def. 4.33 (funzione di Lyapounov). Thm. 4.35 (Teorema di Lyapounov per la stabilità). Thm. 4.38 (Teorema di Lyapounov per la stabilità asintotica). Applicazioni: Ex. 4.42 pendolo conservativo (analisi di entrambe i punti fissi), Ex. 4.43 pendolo dissipativo (analisi di entrambe i punti fissi, assenza di piccole oscillazione nel caso instabile). Piccole oscillazioni: dal pendolo alla molla: importanza concettuale delle forme quadratiche e potenziali armonici.
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Lezione Quindici | Lunedì 09 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Sez. 4.6: sistemi del II ordine. Def. 4.45, Def. 4.46, Def. 4.47, Thm. 4.50 (criterio di stabilità di Dirichlet), Thm. 4.54 (versione alternativa), Thm. 4.56 (sistemi dissipativi) e Thm. 4.58 (criterio di instabilità). Sez. 4.7: Diagramma di fase con esempi. Extra: mappa logistica: generalità, studio analitico per r=4. Genesi del caos deterministico.
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Lezione Sedici | Lunedì 16 Dicembre ore: 15:00-17:00, Aula 5 Edificio RM018
Argomenti Esercitazione su scritti d'esame.